在果实振动收获过程中，在承接阶段的相互碰撞是果实损伤的主要来源之一。目前，果实碰撞损伤机理的研究主要依赖于田间试验，收获窗口期的限制导致承接装置的设计周期较长^[1]。作为一种有效的数值模拟技术，离散元法能够可视化果品碰撞接触过程中的动态响应，从而为相关装备的设计优化提供重要参考^[2-3]。使用离散元仿真软件(如EDEM)进行模拟试验时，准确定义模型输入参数对于确保结果精度至关重要^[4-5]。

标定离散元仿真参数的过程包括测定颗粒本征参数、选择接触模型、确定接触参数以及进行参数校准^[6-7]。颗粒本征参数可通过试验测量或文献资料直接获得，而接触参数则需要校准，以确保仿真结果与试验数据的一致性^[8-10]。在农业物料颗粒的参数标定领域，研究对象主要包括土壤^[11]、草谷种子^[12-14]和茎秆作物^[15]。针对球形水果的参数标定鲜有报道，已知的文献报道的有荔枝^[16]和梨^[17]。

本研究以 ‘鲁丽’苹果为试验对象，旨在建立其果实的离散元模型，并通过试验与仿真相结合的方式，对其离散元接触参数进行精确标定。具体目标包括：1)构建由多种球形颗粒半径胶结而成的苹果离散元模型，并通过对比分析确定最佳颗粒半径；2)分析苹果接触部位、果实质量和材料类型对接触参数的影响，并通过方差分析进行显著性检验；3)调整仿真参数以模拟不同试验条件，通过数据拟合得到参数方程，并利用实测数据进行验证；4)通过无底圆筒提升试验，对标定参数的有效性进行验证。研究结果有望为苹果振动收获中接近承接或采后处理装置的设计优化提供理论依据。

1.   苹果模型建立

1.1   物理与颗粒模型创建

在进行离散元仿真试验时，构建准确的苹果颗粒模型对于确保仿真结果的精度至关重要。为提高模型的准确性，本研究采用球形颗粒胶结的方式构建苹果的离散元模型。

试验对象选择河北保定地区广泛种植的‘鲁丽’苹果，于2023年8月采摘后及时运输至实验室，从中挑选20个大小、形状相近且表面无瑕疵的样本，质量均值为(194.00±2.12) g。采用游标卡尺(精度：0.01 mm)测量果实的横径和纵向高度，其均值分别为(77.66±1.96)和(69.08±2.34) mm；通过电子天平(精度：0.01 g)和排水法测量每个果实的质量和体积，进而计算得到其密度为(885.80±0.01) kg·m⁻³；参考文献[18]，利用万能试验机(WD-20KE，广州精控测试仪器有限公司)进行柱形压缩试验，获得果肉的弹性模量和泊松比，均值分别为(2.38±0.05) MPa和0.27±0.04。为提高苹果几何模型的建立精度，根据前期研究^[19]，利用数显半径规分别测定了苹果上部(近果柄部)、中部和下部(近花萼部)3个区域的曲率半径，其调和均值分别为(22.08±3.49)、(35.37±5.76)和(30.63±5.82) mm。

基于苹果横径、高度、曲率半径等关键几何参数的均值，采用AutoCAD 2021软件绘制初步草图(图1a)；利用SolidWorks 2021软件的旋转特征功能，基于草图构建三维几何模型(图1b)；然后以STP格式导入到EDEM 2022软件中，根据苹果的几何轮廓，限定颗粒的填充边界(图1c)，从而以颗粒胶结的方式建立其离散元模型(图1d)。

图  1  苹果离散元颗粒模型的建立过程

Figure  1.  Establishment process of apple discrete element particle model

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为了选取最合适的颗粒半径，在1 ~ 5 mm范围内，每隔1 mm构建了一系列苹果的离散元模型(图2)，相应的球形颗粒数分别为16384、2495、1250、526和271。为评估模型的精确度，使用斜面滚动摩擦试验的水平滚动距离作为参考，进行仿真试验，每种颗粒半径的试验重复3次。根据颗粒半径与仿真效果的关系(图3)，得出颗粒半径越小，仿真得到的滚动距离与实际值之间的相对误差越低，但仿真所需时间明显延长。尽管具有1 mm颗粒半径的离散元模型在仿真结果上最接近实际，但随着颗粒半径的减小，所需的颗粒数量和仿真时间以几何级数增加。因此，在权衡计算效率和仿真精确度后，本研究选择了颗粒半径为2 mm的苹果离散元模型。该模型在保持相对较低的误差(7.9%)的同时，满足试验要求，且在计算资源和时间上的投入是合理的。

图  2  不同颗粒半径的苹果离散元模型

Figure  2.  Apple discrete element models with different particle radii

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图  3  颗粒半径与仿真效果的关系

Figure  3.  Relationship between particle radius and simulation effect

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1.2   接触模型选取

在进行苹果颗粒的仿真分析时，模型能够精确地反映真实苹果的几何形态和物理属性非常关键，这直接影响到仿真结果的可靠性。苹果作为一种具有较低表面黏附力的物料，颗粒间的相互作用主要为接触力和摩擦力。在颗粒运动过程中，位移、受力以及速度的变化源于颗粒间的相互作用以及颗粒与接触材料间的微观接触行为。根据牛顿第二定律，当颗粒受到外力和扭矩作用时，将产生相应的加速度和角加速度，从而引起平动和转动。为了准确模拟这些物理现象，本研究采用了Hertz-Mindlin无滑动接触力学模型。该模型既能够描述颗粒间的弹性接触和塑性变形，同时考虑了颗粒间的摩擦效应。

在基于Hertz-Mindlin接触模型的仿真分析中，苹果颗粒所受的法向力(F_n)和切向力(F_t)满足函数关系式：

式中：E^*为等效弹性模量，满足$\dfrac{1}{{{E^*}}} = \dfrac{{1 - \mu _1^2}}{{{E_1}}} + \dfrac{{1 - \mu _2^2}}{{{E_2}}}$；μ 为泊松比；E₁和E₂为弹性模量；R^*为等效接触半径，满足$\dfrac{1}{{{R^*}}} = \dfrac{1}{{{R_1}}} + \dfrac{1}{{{R_2}}}$，R₁和R₂为接触部位的曲率半径；δ_n为法向重叠量；δ_t为切向重叠量；S_t为切向刚度。

苹果颗粒之间的法向阻尼力(F_n,d)及切向阻尼力(F_t,d)满足关系式：

式中：β_d为阻尼比；m^*为等效质量，满足$\dfrac{1}{{{m^*}}} = \dfrac{1}{{{m_1}}} + \dfrac{1}{{{m_2}}}$，m₁和m₂为接触物体的质量；S_n为法向刚度； v_n,rel为法向相对速度；v_t,rel为切向相对速度。

在苹果颗粒的离散元仿真中，颗粒间的相互作用力是决定颗粒运动行为的关键因素。切向力(F_t)在颗粒间的作用受到库伦摩擦力(μ_kF_n)的限制，其中μ_k为静摩擦系数。切向力的最大值由静摩擦系数和法向力的乘积决定，可以表示为：

当实际的切向力超过这个最大值时，颗粒将开始滑动。在苹果颗粒的运动过程中，除了滑动摩擦力外，滚动摩擦力也是一个需要考虑的重要因素。滚动摩擦力可以通过接触表面上的力矩(T_i)来描述，该力矩与滚动摩擦系数(μ_i)、颗粒质心至接触点的距离(R_i)，以及颗粒在接触点处的角速度(ω_i)有关。力矩(T_i)的计算公式可以表示为：

2.   苹果离散元仿真参数标定

2.1   碰撞恢复系数

恢复系数是衡量物体在碰撞过程中弹性变形恢复能力的物理参数，定义为碰撞后两物体在接触点处的法向相对分离速度与碰撞前的法向相对接近速度之比^[20]。依据恢复系数的物理定义，本研究构建了苹果与接触材料以及苹果之间碰撞恢复系数的测定模型，并对其结果进行分析与标定。

2.1.1   苹果−接触材料的碰撞恢复系数

在苹果振动收获过程中，除了果实之间的相互碰撞，果实与接触材料之间的碰撞同样不容忽视。为了最小化苹果与接触材料碰撞造成的损伤，本研究选用特高密度和高密度的聚氨酯泡棉作为接触材料，其密度分别为(49.31±2.13)和(30.78±1.27) kg·m⁻³，具有极佳的缓冲性能，前期研究^[21]发现，将苹果从0.5 m高处跌落，苹果的动能几乎全被泡棉吸收，其反弹高度基本可以忽略。通过拉伸和基础物理试验测定的特高密度和高密度泡棉的弹性模量分别为(0.050±0.005)和(0.030±0.002) MPa，泊松比分别为0.31±0.01和0.32±0.01。

为了深入探究苹果接触部位对恢复系数的影响，分别让其上部、中部和下部与2种密度泡棉进行碰撞。本研究的成果主要针对标准化种植的果树，如直立墙形。一般而言，每棵果树包含7层水平分布的树枝，树枝层间距为0.5 m，鉴于果实重力的影响，果实与承接表面的距离通常约为0.3 m。此外，采收过程中，采用尽量接近承接面或收集区域的方式，以减小果实的跌落距离，从而减轻果实所受的冲击力。考虑到苹果跌落的极限高度，本研究设计了100、400、500和600 mm 4个不同高度的跌落试验。

苹果与接触材料间的恢复系数采用跌落弹跳法进行测定，共选用20个质量相近的苹果，其质量均值为(183.75±4.07) g。如图4a所示，将苹果通过负压吸盘固定，打开气流阀门，使其从初始高度H₀自由释放，跌落至正下方的泡棉。仿真模拟(图4b)时，通过软件设置将苹果颗粒的初始速度设置为0。

图  4  苹果跌落在泡棉的恢复系数实测试验(a)和仿真试验(b)

1：吸盘；2：苹果；3：泡棉；4：直尺。

Figure  4.  Actual measurement (a) and simulation test (b) of restitution coefficient of apple dropping onto foam

1: Suction cup; 2: Apple; 3: Foam; 4: Ruler.

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在受到苹果冲击后，泡棉发生压缩，而后使苹果反弹到H₁高度。为了捕捉苹果的弹跳过程，使用高速相机(Mini UX50, Photron)以240 帧/s的帧率进行视频录制。通过分析录制视频的数据，计算苹果在碰撞前后的速度，进而确定其碰撞恢复系数。苹果与接触材料间的碰撞恢复系数(${e_{\mathrm{a}}} $)可表示为苹果碰撞前后在接触点处的法向方向瞬时分离速度v_n1与瞬时接触速度v_n0之比，其计算公式如下：

图5a显示了不同密度材料和果实碰撞部位下苹果与泡棉的碰撞恢复系数。由图5a可知，苹果中部的恢复系数略高，而上、下两端的恢复系数相近。这是因为中部曲率半径较大，在与泡棉接触时表面形变较小，碰撞后能够更快恢复原状，减少了形变过程中的能量损失，从而使得恢复系数较高。使用IBM SPSS 2021软件进行方差分析，结果表明碰撞部位对恢复系数的影响不显著(P > 0.15)，而泡棉密度对恢复系数的影响极显著(P < 0.01)。基于上述分析，本研究将苹果3个部位的碰撞恢复系数进行汇总，并计算均值，进一步绘制跌落高度与碰撞恢复系数的散点图，并进行线性拟合(图5b)。由图5b可见，与100 mm的跌落高度相比，苹果在400 mm高度跌落时的碰撞恢复系数显著降低。这是由于一方面苹果从400 mm跌落后发生了损伤，另一方面可能是跌落位置较高导致泡棉受到冲击时进入了屈服或密实阶段，从而吸收了更多的能量。此外，苹果跌落在特高密度泡棉上的恢复系数要大于跌落在高密度泡棉上的，这是因为更高密度的泡棉具有更大的弹性模量，在与苹果接触时提供了更强的弹力，使得反弹高度更高。为了确保仿真标定的准确性，本研究选取100 mm作为初始跌落高度，对苹果与泡棉的碰撞恢复系数进行了虚拟试验。

图  5  不同试验条件下苹果与泡棉间的碰撞恢复系数

Figure  5.  Restitution coefficients of collisions between apples and foams under different test conditions

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仿真试验时，将苹果从距离泡棉表面100 mm处自由释放。为避免摩擦力对苹果颗粒的反弹高度产生影响，将摩擦系数设置为0。在仿真过程中，将苹果与泡棉的碰撞恢复系数设定在以0.2为间隔的0.1~0.9范围内，每个数值重复3次试验。利用仿真软件的后处理功能，精确测定苹果颗粒的反弹高度，并将其作为评价碰撞效果的主要指标。利用OriginPro 2021软件，针对恢复系数与反弹高度的数据绘制散点图，结果如图6所示。

图  6  仿真试验中苹果与不同密度泡棉间碰撞恢复系数与反弹高度的关系

Figure  6.  Relationship between restitution coefficient and rebound height of collisions between apples and foams with different densities in simulation test

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分别以颗粒−特高密度泡棉和颗粒−高密度泡棉的碰撞恢复系数e_ax1和e_ax2为自变量，相应的反弹高度H₁₁和H₁₂作为因变量，对数据进行曲线拟合，得到如下方程：

将苹果在特高密度与高密度泡棉上的反弹高度均值30.8和19.1 mm分别代入相应的方程，计算得到的碰撞恢复系数分别为0.61和0.47。与实测值0.58和0.52相比，计算值的相对误差分别为5.0%和9.7%，表明仿真结果与试验数据基本吻合。基于上述结果，苹果与特高密度和高密度泡棉在仿真中的碰撞恢复系数可被确定为0.61和0.47。仿真结果略高于实测值，这一差异可能主要源于仿真时未考虑苹果颗粒与泡棉接触时的摩擦力。在碰撞过程中，颗粒的动能除了被泡棉吸收外，其余部分全部转化为反弹能量，因而导致反弹速度偏大。

2.1.2   苹果之间的碰撞恢复系数

苹果之间碰撞恢复系数的测定通过双线摆试验进行。试验装置如图7a所示，苹果A通过棉线悬挂并保持静止，苹果B被摆升至特定高度。释放苹果B后，B在棉线约束下进行圆周运动，并与静止的苹果A发生碰撞，随后2个苹果均摆动至最高点。在EDEM仿真软件中，实现多个几何体之间的相互运动存在显著挑战。本研究参考文献[22]，采用等效模型方法。将苹果颗粒约束在1个半径R_c=1000 mm、位于竖直平面的半圆形管道内，管道内径r_c=100 mm，如图7b所示。

图  7  苹果间碰撞恢复系数的实测试验(a)和仿真试验(b)

1：棉线；2：苹果A；3：苹果B；4：模拟管道。

Figure  7.  Actual measurement (a) and simulation test (b) of the restitution coefficient for collision between apples

1: Cotton thread; 2: Apple A 3: Apple B; 4: Simulated pipeline.

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假设苹果B的初始摆升高度为H_b0，碰撞后，苹果A和B的摆动高度分别为H_a和H _b。整个碰撞过程由高速相机(500帧/s)记录。根据碰撞恢复系数物理学的定义，苹果间碰撞恢复系数(${e_{\mathrm{b}}} $)的计算公式为：

式中：v_b为碰后瞬间苹果B的速度；v_a为碰后瞬间苹果A的速度；v_b0为碰前瞬间苹果B的速度。

为探究碰撞部位对恢复系数的影响，本研究开展了3种碰撞部位(中部−上部、中部−中部、中部−下部)的试验，即用苹果B的中部分别与苹果A的上部、中部和下部进行碰撞。摆升高度设置为100、200和400 mm 3个水平。试验共选取40个样本，其中苹果A的每个部位和苹果B的中部又沿其周向细分成6个碰撞位置，每2个碰撞位置对应1个摆升高度，每个碰撞部位重复20次试验。图8显示了摆升高度与碰撞恢复系数的关系。随着摆升高度的增加，恢复系数逐渐下降，且不同碰撞部位间的恢复系数存在细微差异。方差分析结果显示，摆升高度对恢复系数的影响显著(P < 0.05)，而碰撞部位对恢复系数的影响不显著(P = 0.27)。根据Pang等^[23]的研究，当恢复系数超过0.65时，苹果损伤可以忽略不计。鉴于在仿真中采用Hertz-Mindlin的无滑动模型不会导致颗粒损伤，本研究基于100、200和400 mm高度下的恢复系数均值(分别为0.67±0.03、0.60±0.03和0.56±0.02)，选择100 mm作为初始摆升高度进行仿真参数标定试验。

图  8  摆升高度与苹果间碰撞恢复系数的关系

Figure  8.  Relationship between swing height and restitution coefficient of collision between apples

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仿真试验时，为避免管道摩擦对仿真结果的影响，将管道与颗粒间的静摩擦系数和滚动摩擦系数均设置为0。将颗粒间的碰撞恢复系数设定在0.1~0.9的范围，间隔0.2，每个数值重复3次试验。仿真完成后，通过软件的后处理功能测定苹果碰撞后的摆升高度，以苹果A和B的最大摆升高度作为评价指标，其与恢复系数的关系如图9所示。

图  9  仿真试验中苹果间的碰撞恢复系数与苹果最大摆升高度的关系

Figure  9.  Relationship between the restitution coefficient of collision between apples and the maximum swing height of apples in simulation test

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以苹果A和B颗粒间的碰撞恢复系数e_b为自变量，最大反弹高度H_a和H_b为因变量，拟合得到的参数方程如下：

将H_a=68.6 mm和H_b=5.2 mm代入方程(8)，得碰撞恢复系数为0.65，与实测值0.68相比，相对误差为4.9%，表明标定后的仿真结果与真实试验结果基本一致。故确定e_b=0.65为苹果颗粒间的碰撞恢复系数。仿真结果略低于实测值，这一差异可能主要源于将苹果间的摆动碰撞等效为圆筒中的自由碰撞，苹果颗粒碰撞时，部分平动能量转化为转动能量。

2.2   苹果−接触材料的摩擦系数

根据能量守恒定律，本研究采用斜面滑动法和滚动法对苹果与接触材料之间的静摩擦系数和滚动摩擦系数进行分析和标定，滚动法通过测量苹果在水平面上滚动时的减速率计算滚动摩擦系数。

2.2.1   苹果−接触材料的静摩擦系数

本研究采用广泛应用的斜面滑动法来测量静摩擦系数。对于质量为m的物体，其重力可以分解为2个分量：平行于斜面的切向力T和垂直于斜面的法向力F。当斜面倾角θ小于物体滑动的临界角度时，切向力T小于物体与斜面间的静摩擦力f，物体将保持静止状态。随着斜面角度的增加，切向力T逐渐增大，一旦θ超过物体滑动的临界角度，即T > f，物体将开始沿斜面下滑。在此期间，静摩擦系数(μ_s)与临界倾角(θ_临界)之间的关系可以表示为：

通过测量物体在斜面上的临界滑动角度，便可计算出μ_s。

在试验中，将泡棉平铺固定在斜面木板上，并选取了20个样本。将3个大小相近的苹果捆绑成1组，并将数显倾角仪(精度0.05º，量程0°~360º)放置在泡棉板上。逐渐增加斜面倾角，直至苹果表现出相对滑动的趋势，记录此时的倾角θ。对于每种材料，重复10次试验，并取其均值。试验结果显示，苹果与特高密度和高密度泡棉间静摩擦系数的均值分别为0.52±0.03和0.65±0.04。方差分析结果显示，泡棉密度对苹果静摩擦系数的影响显著(P=0.035)。本研究针对2种密度的泡棉分别进行了仿真标定试验。

在EDEM软件中，添加1个长700 mm、宽500 mm的矩形平板，并设置其参数与钢板相同。采用多球面组合方法生成3球组合的苹果仿真颗粒，以模拟实际试验条件下的黏结苹果。在仿真中，静摩擦系数设置为0.1~0.9，间隔0.2；碰撞恢复系数采用标定后的值(0.61和0.47)；滚动摩擦系数设置为0，以消除其对斜面滑动仿真试验的影响。以倾角θ作为评价指标，每种参数设置3次重复试验。苹果与泡棉间的静摩擦系数与其临界倾角的关系如图10所示。

图  10  仿真试验中苹果与泡棉间的静摩擦系数与其临界倾角的关系

Figure  10.  Relationship between static friction coefficient and critical tilting angle between apples and foams in simulation test

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以颗粒−特高密度泡棉和颗粒−高密度泡棉的静摩擦系数μ_s1和μ_s2为自变量，倾斜角度θ_s1和θ_s2为因变量，对试验结果进行曲线拟合，得到参数方程如下：

将苹果与特高密度和高密度泡棉的临界倾角的均值33.35°和27.42°代入方程，计算得到的静摩擦系数分别为0.46和0.61。与实测值0.51和0.65相比，相对误差分别为9.8%和6.1%，表明经过标定的仿真静摩擦系数与实测值基本一致。

2.2.2   苹果−接触材料的滚动摩擦系数

滚动摩擦力是指当一个物体在另一物体表面进行纯滚动或有滚动趋势时，由于接触部分受压形变而产生阻碍滚动的作用力。这种阻力通常用阻力矩来量化，其大小取决于物体的材料特性、接触面形状以及滚动物体的质量^[17]。本研究选取了3种不同质量区间的苹果：< 170 g(小果)、170~190 g(中果)、>190 g(大果)，让其从具有一定倾斜角度(β)的泡棉板上以初速度为0开始滚动，沿斜面滚动距离(S)，最终滚落至水平放置的泡棉平板上。由于受到滚动摩擦力的作用，苹果在水平泡棉板上滚动一段距离L后停下。以L为评价指标，对苹果与接触材料之间的滚动摩擦系数进行标定(图11)。假设苹果运动为纯滚动，并认为其所受阻力仅为滚动摩擦力，可忽略静摩擦力的影响。由能量守恒定律可得：

图  11  苹果与泡棉间滚动摩擦系数的测定试验

1：卷尺；2：苹果；3：泡棉。

Figure  11.  Determination test of rolling friction coefficient between apple and foam

1: Tape measure; 2: Apple; 3: Foam.

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式中：m为苹果质量；μ_r为滚动摩擦系数。

考虑到苹果的非球形特征，其在平面上的滚动轨迹会形成曲线。为了将计算误差控制在较小范围内，将整条运动轨迹分割为一系列小段曲线，每段曲线长度记为Δl。随着分割段数增加，每一段曲线将越来越接近直线。对这所有小段曲线进行积分求和，即可得到苹果的滚动距离(L)满足：

利用高速相机(500帧/s)记录苹果的运动轨迹。将录制后的视频导入Tracker 5.1.5软件，识别苹果的运动轨迹并导出其坐标数据。然后将坐标数据输入AutoCAD 2021软件，对苹果的运动轨迹进行分析并计算滚动距离。

为简化测量过程，经过多次滚动预试验，确定苹果与泡棉的试验条件如下：斜面倾角β=7°，斜面滚动距离S = 112 mm，水平面滚动距离L = 230 mm。在上述条件下，对20个苹果进行了20次重复试验，并取其均值，结果如表1所示。方差分析结果表明，泡棉密度对苹果的滚动摩擦系数有极显著影响(P<0.001)，而苹果质量对滚动摩擦系数的影响不显著(P=0.98)。因此，分别对特高密度和高密度泡棉进行了仿真标定试验。

表  1  不同质量的苹果在不同泡棉上的水平滚动距离及滚动摩擦系数

Table  1.  Horizontal rolling distance and rolling friction coefficient of apples with different weights on different foams

苹果质量/g Apple weight	泡棉类型 Foam type	水平滚动距离/mm Horizonal rolling distance	滚动摩擦系数 Rolling friction coefficient
<170	高密度 High density	533.32±30.77	0.0289±0.0010
	特高密度 Ultra-high density	1071.80±35.60	0.0167±0.0040
170~190	高密度 High density	524.54±37.24	0.0290±0.0010
	特高密度 Ultra-high density	1071.80±40.80	0.0167±0.0005
>190	高密度 High density	533.35±42.00	0.0289±0.0010
	特高密度 Ultra-high density	1043.90±22.90	0.0170±0.0003

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在离散元仿真中，利用EDEM软件构建了2种不同的平板模型：一种是7°倾斜放置的矩形平板，另一种是水平放置的矩形平板。这2种平板的底端相接触，并将其本征参数设置为与Q235钢相同。在距离倾斜平板底端112 mm处生成一个半径为2 mm 的苹果离散元模型，并让其以初速度为0沿斜面滚动。由于实际滚动过程中颗粒同时受到静摩擦力的作用，故在仿真中针对特高密度和高密度泡棉，将苹果颗粒的碰撞恢复系数分别设定为0.61和0.47，静摩擦系数分别设定为0.46和0.61，滚动摩擦系数在0.01~0.03范围内，间隔为0.005进行调整。以水平滚动距离L作为评价指标，探究其与滚动摩擦系数的关系，结果见图12。

图  12  仿真试验中苹果与泡棉间的滚动摩擦系数与苹果水平滚动距离的关系

Figure  12.  Relationship between rolling friction coefficient between apple and foam and horizontal rolling distance of apples in simulation test

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分别以苹果颗粒与特高密度和高密度泡棉接触的滚动摩擦因数μ_r1和μ_r2为自变量，相应的水平滚动距离L_r1和L_r2为因变量，对结果进行曲线拟合，得到如下方程：

将苹果在特高密度和高密度泡棉上的水平滚动距离均值1071.80和533.32 mm代入方程(13)，计算得到滚动摩擦系数分别为0.0166和0.0288。与实测均值0.0167和0.0289相比，计算值的相对误差分别为0.6%和0.3%，表明经过标定的仿真滚动摩擦系数与试验结果高度一致。故苹果与特高密度和高密度泡棉在仿真中的滚动摩擦系数分别被设定为0.0166和0.0288。苹果与泡棉之间静摩擦系数的实测值与仿真值极为接近，这验证了在测量苹果的水平滚动距离时，采用分段积分的方式有助于提升标定精度。

2.3   苹果颗粒间的摩擦系数

2.3.1   颗粒间的静摩擦系数

参考文献[24]，本研究采用与接触材料间静摩擦系数相似的方法来确定苹果间的静摩擦系数。在试验(图13a)中，将4个大小相近的苹果捆绑成第1组，并固定在亚克力板的斜面上。另取4个相似大小的苹果捆绑成第2组，并使其与底板上的苹果保持接触。在EDEM软件中，添加1个700 mm长、500 mm宽的矩形平板，并将其本征参数设置为与钢板一致。通过多球面组合方法生成了由4个球体组成的苹果仿真颗粒，以模拟实际试验条件下的黏结苹果(图13b)。

图  13  苹果间静摩擦系数的实测试验(a)和仿真试验(b)

1：苹果；2：数显倾角仪；3：泡棉。

Figure  13.  Actual measurement (a) and simulation test (b) of static friction coefficient between apples

1: Apple; 2: Digital inclinometer; 3: Foam.

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试验时，缓慢抬升底板，直至苹果间开始发生滑动，此时通过数显倾角仪记录临界倾角。试验选取3种不同质量区间的苹果(<170、170~190和>190 g)，并在每个质量区间内重复进行10次试验。利用公式(9)计算得出静摩擦系数，并取其均值，结果如表2所示。由于苹果的质量对其静摩擦系数的影响不显著(P=0.17)，在进行苹果间静摩擦系数的仿真标定试验时，忽略苹果的质量因素。

表  2  不同质量苹果间的静摩擦系数

Table  2.  Static friction coefficients between apples with different weights

苹果质量/g Apple weight	临界倾角/(°) Critical tilt angle	静摩擦系数 Static friction coefficient
<170	22.48±0.80	0.41±0.02
170~190	21.66±0.39	0.40±0.01
>190	22.5±0.32	0.41±0.01

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在仿真接触参数设置中，使用经过标定的碰撞恢复系数e_b = 0.65，并将滚动摩擦系数设置为0。苹果间的静摩擦系数取值范围为0.2 ~ 0.6，间隔为0.1，每个数值重复3次。以颗粒开始滑动时的临界倾角θ_a为评价指标，探究其与静摩擦系数之间的关系，结果见图14。

图  14  仿真试验中苹果间静摩擦系数与临界倾角的关系

Figure  14.  Relationship between static friction coefficient and critical tilt angle of apples in simulation test

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以颗粒间的静摩擦系数μ_a为自变量，斜面临界倾角θ_a为因变量，对数据结果进行曲线拟合，得到方程：

将临界倾角22.48º代入所得方程，计算得到对应的颗粒间的静摩擦系数为0.42。与实测值0.41相比，相对误差为1.6%。这表明经过标定的静摩擦系数与实测值基本吻合。

2.3.2   颗粒间的滚动摩擦系数

1)堆积角测量试验。在颗粒物料的研究中，堆积角(θ_c)作为一个关键的宏观参数，能够有效地表征颗粒物料流动、摩擦等特性。接触参数，如静摩擦系数、滚动摩擦系数，对堆积角的测量有显著影响^[25]。上述部分已完成颗粒间静摩擦系数和颗粒与泡棉间摩擦系数的仿真标定，本部分旨在分析和标定颗粒间的滚动摩擦系数(μ_b)。

通过箱体抽板法，进行苹果间滚动摩擦系数的测定，如图15a所示。箱体的内部尺寸为400 mm × 500 mm，总高600 mm。试验过程中，挡板以一个缓慢的速度(v_c)抽提，以确保颗粒在堆积过程中能够自由扩散，并在底板上形成一个自然的颗粒堆。颗粒种群形成的斜面与水平底板平面的夹角即为种群堆积角。在仿真试验(图15b)中，为了最小化苹果颗粒对堆积角测量的影响，本研究选用了半径为2 mm的颗粒来构建苹果的离散元模型，该模型通过EDEM软件的颗粒工厂功能生成了2495个颗粒。试验所用的箱体材质为钢化玻璃，尺寸为长500 mm、宽400 mm、高600 mm，其本征参数依据钢材属性设定，而接触参数则与泡棉的参数相同。

图  15  实测试验(a)和仿真试验(b)中苹果的堆积情景

1：挡板；2：苹果；3：泡棉。

Figure  15.  Apple stacking scenarios in actual measurement (a) and simulation test (b)

1: Baffle; 2:Apple; 3: Foam.

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鉴于挡板的抽提速度对颗粒堆积形态的影响^[12]，本研究设定了5个不同的速度梯度：60、240、360、480和720 mm/min，以评估其对堆积角测量精度的影响。同时，考虑到苹果质量和形状对结果的影响，将苹果分为3个质量区间：<170、170~190和>190 g，每个区间选用160个样本进行10次重复试验。颗粒群稳定后，使用iPhone12进行拍照，并通过Adobe Photoshop 2020软件处理为灰度图，进行二值化以提取颗粒堆的边界，如图16所示。将GetDataGraph Digitizer 2.25软件抓取的像素坐标导入OriginPro 2023软件，并运用最小二乘法进行线性拟合，如图17a所示。拟合直线的斜率代表了堆积角的正切值，将该值转换为角度后即得到堆积角的测量结果。

图  16  基于图像处理的苹果堆积角测定过程

Figure  16.  Determination of apple repose angle based on image processing

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图17b展示了3个苹果质量区间下挡板抽提速度与堆积角的关系。方差分析结果显示，苹果质量对堆积角的影响不显著(P>0.09)，且当挡板抽提速度低于480 mm/min时，各速度组之间的堆积角差异同样不具有统计学意义(P>0.05)。过低的抽提速度会导致模拟过程耗延长和计算负担加重，特别是对于大规模模拟系统而言。因此，本研究选择了360 mm/min作为挡板的抽提速度，进行苹果颗粒间滚动摩擦系数的仿真试验。

图  17  苹果堆积角的测定结果及其与抽提速度的关系

Figure  17.  The results of the apple stacking angle and its relationship with the lifting speed

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2)堆积角仿真参数分析和标定。在箱体内，采用静态法生成了与实测试验等量的苹果颗粒。根据文献[3]及众多的仿真预试验，确定了颗粒间滚动摩擦系数的范围为0.01~0.05。其余参数均采用经过标定的数值，具体为：颗粒间的碰撞恢复系数为0.65，颗粒与泡棉的碰撞恢复系数为0.61，颗粒间的静摩擦系数为0.42，颗粒与泡棉的滚动摩擦系数为0.0166，挡板抽提速度与实测试验保持一致。本研究以堆积角为评价指标，将仿真结果以散点图的形式呈现，如图18所示。

图  18  仿真试验中苹果间滚动摩擦系数与堆积角的关系

Figure  18.  Relationship between rolling friction coefficient and repose angle of apples in simulation test

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以苹果间的滚动摩擦系数μ_b为独立变量，并选取堆积角θ_c作为性能评价指标。通过非线性最小二乘拟合方法，建立了描述二者关系的数学方程：

将此堆积角的均值21º代入拟合方程(15)，得苹果颗粒间的滚动摩擦系数μ_b=0.032 0。

3.   圆筒提升法堆积角验证试验

采用无底圆筒提升法对堆积角进行验证试验(图19a)，试验装置包括一个无底圆筒(内径450 mm，高600 mm)和一个底板(长2000 mm、宽1000 mm)。在仿真试验(图19b)中，设置苹果间的滚动摩擦系数为0.032，圆筒抬升速度与真实试验一致，其余参数采用经过标定的数值。为确保圆筒抬升速度对苹果堆积角的影响最小化，研究预先进行了在不同抬升速度下的堆积角测试，结果如图20所示。同理，选定360 mm/min作为圆筒的抬升速度，试验测得的苹果堆积角的均值为(19.6±1.1)º。仿真结果测得的堆积角为20.9°，两者相比，相对误差为6.6%。证明了所标定滚动摩擦系数的有效性。

图  19  圆筒抬升实际验证试验(a)与仿真试验(b)下苹果的堆积场景

1：圆筒，2：苹果，3：泡棉。

Figure  19.  Apple stacking scenarios in actual verification test (a) and simulation test (b) using cylinder lifting

1: Cylinder, 2:Apple, 3: Foam.

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图  20  圆筒抬升速度与苹果堆积角的关系

Figure  20.  Relationship between cylinder lifting speed and repose angle of apples

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4.   结论

1)通过堆积和球形颗粒组合法构建了苹果的离散元模型，在权衡计算精度和效率的基础上，确定当颗粒半径设定为2 mm时，模型的适用性最佳。

2)苹果的表面接触部位对其碰撞恢复系数的影响不明显。以颗粒半径为2 mm组成的离散元模型进行仿真标定时，苹果与特高密度和高密度泡棉的碰撞恢复系数分别为0.61和0.47，静摩擦系数分别为0.46和0.61，滚动摩擦系数分别为0.0166和0.0288，而苹果间的对应参数分别为0.65、0.42和0.0320。

3)通过无底圆筒提升法对苹果的堆积角进行了试验验证。结果显示，仿真堆积角为20.9º，与实际测量值19.6º相比，相对误差为6.6%，证明了标定结果的有效性。

本研究重点介绍了苹果接触参数的标定过程，而最终的标定结果通过无底圆筒抬升试验得到了初步验证，证明了标定结果的有效性。此外，本研究结果预期为苹果振动收获系统或采后处理装置的设计优化提供理论支持，特别是针对尽量靠近果实承接或收集的局部对靶振动收获系统。需要注意的是，本研究结果仅为基于‘鲁丽’品种苹果的试验数据。针对其他品种的适用性及潜在差异，后续研究将进一步探讨。